1.7: Matematyczna definicja grupy

Teraz, gdy zbadaliśmy niektóre z właściwości operacji symetrii i elementów i ich zachowanie w grupach punktowych, jesteśmy gotowi, aby wprowadzić formalną matematyczną definicję grupy.

Grupę matematyczną definiuje się jako zbiór elementów (\(g_1\), \(g_2\), \(g_3\)…) wraz z regułą tworzenia kombinacji \(g_i\) \(g_j\). Liczba elementów \(h\) jest nazywana porządkiem grupy. Dla naszych celów, elementy s± operacjami symetrii cz±steczki, a reguła ich ł±czenia jest sekwencyjnym zastosowaniem operacji symetrii badanych w poprzednim rozdziale. Elementy grupy i reguła ich łączenia muszą spełniać następujące kryteria.

1. Grupa musi zawierać tożsamość \(E), dla której \ dla wszystkich elementów grupy.
2. Elementy muszą spełniać własność grupy, że kombinacja dowolnej pary elementów jest również elementem grupy.
3. Każdy element \(g_i\) musi mieć odwrotność \(g_i^{-1}}), która również jest elementem grupy, taką, że \(np. w \(C_{3v}\) odwrotność \(C_3^+\) jest \(C_3^-\), odwrotność \(\sigma_v\) jest \(\sigma_v\)’, odwrotność \(g_i^{-1}}\) skutecznie „cofa” efekt operacji symetrii \(g_i\)).
4. Reguła łączenia musi być asocjacyjna tzn.

Powyższa definicja nie wymaga, aby elementy były komutowalne, co wymagałoby

Jak odkryliśmy w powyższym przykładzie, w wielu grupach wynik kolejnego zastosowania dwóch operacji symetrii zależy od kolejności, w jakiej te operacje są stosowane. Grupy, dla których elementy nie są komutowalne nazywamy grupami nieabeliańskimi; te, dla których elementy są komutowalne nazywamy grupami abeliańskimi.

Teoria grup jest ważną dziedziną matematyki i na szczęście dla chemików matematycy wykonali już za nas większość pracy. Wraz z formalną definicją grupy przychodzą kompleksowe ramy matematyczne, które pozwalają nam na przeprowadzenie rygorystycznego leczenia symetrii w układach molekularnych i poznanie jej konsekwencji.

Wiele problemów dotyczących operatorów lub operacji (takich jak te występujące w mechanice kwantowej lub teorii grup) można przeformułować w kategoriach macierzy. Każdy z Was, kto zetknął się wcześniej z macierzami przekształceń, wie, że operacje symetrii, takie jak obroty i odbicia, mogą być reprezentowane przez macierze. Okazuje się, że zbiór macierzy reprezentujących operacje symetrii w grupie spełnia wszystkie warunki określone powyżej w matematycznej definicji grupy, a używanie macierzowych reprezentacji operacji symetrii upraszcza przeprowadzanie obliczeń w teorii grup. Zanim dowiemy się, jak używać macierzy w teorii grup, prawdopodobnie pomocny będzie przegląd kilku podstawowych definicji i własności macierzy.